绝对值不等式公式四个

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|。

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。

当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。

当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)。

绝对值重要不等式推导过程：

我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0);

因此，有：

-|a|≤a≤|a|......①

-|b|≤b≤|b|......②

-|b|≤-b≤|b|......③

由① ②得：

-(|a| |b|)≤a b≤|a| |b|

即|a b|≤|a| |b|......④

由① ③得：

-(|a| |b|)≤a-b≤|a| |b|

即|a-b|≤|a| |b|......⑤

另：

|a|=|(a b)-b|=|(a-b) b|

|b|=|(b a)-a|=|(b-a) a|

由④知：

|a|=|(a b)-b|≤|a b| |-b|=>|a|-|b|≤|a b|.......⑥

|b|=|(b a)-a|≤|b a| |-a|=>|a|-|b|≥-|a b|.......⑦

|a|=|(a-b) b|≤|a-b| |b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧

|b|=|(b-a) a|≤|b-a| |a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨

由⑥，⑦得：

| |a|-|b| |≤|a b|......⑩

由⑧，⑨得：

| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪

综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|

要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：

|a-b|=|a| |b|→ab≤0

|a|-|b|=|a b|→b(a b)≤0

|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

注：|a|-|b|=|a b|→|a|=|a b| |b|→|（a b）-b|=|a b| |b|→b(a b)≤0

同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。